抽象代数总结

环论

环

• 定义
环的定义，加法Abel群，乘法幺半群，乘法对加法有分配律

• 引理
环，则

• 定义
环
若 则称 为交换环
若 有性质 ，则称 是整环
交换整环称为整区
，若存在 使 ，则称 是可逆元或 的单位
， 在乘法下封闭，且 是一个群

• 定义
若 ，即 中非零元都是单位，则称 是除环
交换除环称为域

• 结论
易见，除环必是整环，域必是整区
交换 交换
整环 整环

子环 理想 商环

• 定义
子环的定义，保持原环中两种运算封闭的子集，有单位元

• 引理
任意多个子环之交还是子环

• 命题
设 环， 子集，则 中含 的所有子环之交是 中含 最小子环，称为由 生成的子环，记为

• 定义
环 ， 易验证， 是 子环，称为 中心
例子
交换环
除环的中心 是域

• 定义
设 环， 是 的子群，若 有性质， 有 则称 是 的理想或双侧理想

• 命题
设 环， 是 的理想，则 在运算 和 下是环，称为商环
中 为零元， 是恒等元

• 注
若不要求子环含幺，则任意理想是子环；若要求，只有 既是理想又是子环
除环 只有平凡理想

• 定义
若环 只有平凡理想 ，则称 是单环

• 理想的运算
任意多个理想之交是理想
• 命题
设 环， ，则 中所有含 的理想的交是 含 的最小理想，记为
• 定义
由一个元素生成的理想称为主理想
• 引理
设 环， 是 的理想，则 是 的理想，称为 与 的和
是 的理想，则 是 的理想
注
无限多个理想之和仍是理想（元素有限和）
• 引理
环， 是 的理想，则 是 的理想
注
交换环中， 对一般环不成立，总有 （但 ，若 互素
 
理想乘法有结合律
交换环，
• 引理
交换单环是域
引理
除环， ，则 是单环

商环的子环与理想

• 定理
设 环， 是 的子环， 是 的理想，则有环同构

• 定理
设 环， 是 的理想，且 ，则有环同构

• 定理

• 环，在 上定义加法，乘法： ，则 在上述运算下成为环，零元 ，恒等元
注： ， 类似， 不是子环，但是是 的理想，且

• 中国剩余定理
设 是交换环， 是 的理想，且两两互素，即 则有环同构

分式域 UFD

• 定理
设 整区，在 上定义二元关系， 则
1. 是 上等价关系，用 表示 等价类。
2. 在 上定义加法、乘法如下： 则它们是良定义的，且 在这两种运算下是一个域，零元素是 或 ，恒等元是 或

• 定理
整区， ，则
1. 是环同态
2. 若 是域 单同态，则 环同态 使 且 是单射，且若 则 是域同构

• 定义
域， 的分式域 称有理函数域，

• 定义
整区， 若 则称 （ 整除 ）或 是 的因子

• 定义
设 若以下等价条件之一成立：
则称 相伴元，记作
设 ，若 ，其中 均非单位，则称 可约，且 是 的真因子
若 无真因子， 则称 是不可约元
若 ，则
，

• 定义
整区，若 中任意非零非单位元 都可以表示成有限个不可约元之积，且若 是两个这样的分解，则 且 则称 是唯一分解整环（UFD）

• 定理
整区，则 是UFD 适合因子链条件和素性条件

• 定义
整区，若 中没有无限序列 或等价的， 中没有主理想无限真升链 或 的任一主理想升链必稳定，即 则 则称 适合因子链条件

• 命题
设 是整区，且有ACCP性质，则 中任一非零非单位元可分解为有限个不可约元之积

• 定义
整区， 是 中非零非单元，如果 ，那么称 是素元
注：整区 上素元必是不可约元

• 定义
若整区 中不可约元均是素元，则称 满足素性条件

• 定理
若 （整区）适合因子链条件和素性条件，则 是UFD

• 命题
是UFD， ， ， 不可约，则
1. 的因子在不计单位意义，只有
2. 含 的主理想只有有限个
 
1. 若 ，则
把 不可约分解乘积与 的不可约分解做比较，用UFD中不可约分解唯一性可知
由1. 存在

• 定理
UFD适合因子链条件和素性条件

• 定义
设 是整区， 若 且 ，有 ，则称 是 最大公因子，记作
显然，最大公因子若存在，则在相伴意义下唯一
若 且 有 ，则称 是 最小公倍子，记作
若整区 中任两个元素的最大公因子存在，则称 是 GCD domain（ 任两元素有最大公倍子）

• 命题

• 定理（UFD的等价刻画）
设 是整区，则以下条件等价：
1. 是UFD
2. 适合因子链条件和素性条件
3. 适合因子链条件和GCD条件，这里GCD条件指 中任意两个元素的最大公因子存在

• 引理
设 是UFD， 且 ，则以下条件等价
1. Bezout等式成立，即
3. 是主理想

• 定义
若整区 的理想均是主理想，则称 是主理想整区，简称PID

• 定理
PID是UFD

• 命题
设 是PID， ，则

• 定义
设 是整区， 是一个函数。若 使 其中 或 ，则称 是 上的一个欧式赋值（或欧式函数）。若整区 至少有一个欧式赋值，则称 是欧式整区，简称ED

• 定理
ED是PID

• 定理
Gauss整数环 是ED，故也是PID，UFD

• 定理（Fermat’s theorem on sums of two squares）
设 是奇素数，则

• 定理
中的不可约元在不计单位意义下有
2. ，其中

• 定理
若 是UFD，则 是UFD
• 推论
1. 是UFD
2. 若 是域，则 是UFD

• 引理
若 是整区，则
1. 对任意 ，有 ，规定
2. 是整区
4. 设 ，则 是 的不可约元 是 的不可约元

• 定义
设 是UFD， 且 ，我们称 是 的容量。若 则称 是本原多项式。
注： 仅在不计 的单位意义下良定义，实际上 是 的一个相伴等价类

• 定理
设 是UFD， 则以下条件等价
1. 是 中不可约元
2. 是本原多项式，且在 内不可约

• 引理

• Gauss引理
设 是UFD，则 中两个本原多项式的乘积仍是本原多项式

• 引理
设 是UFD， 是 的一不可约元，则 和 都是整区

• 引理
设 是UFD， ，则以下条件等价
• 是本原多项式
• 对 的任意不可约元 ，有 ，这里 表示 在同态 下的像

• 定理（ 上的Eisenstein判别法）
设 若存在素数 使 ，则 是 中的不可约多项式

• 定理（UFD的Eisenstein判别法）
设 是UFD， 是 的分式域， ，若存在素数 使 ，则 是 内的不可约多项式

• 定义
若整区 的非零非单位元 满足 ，则称 是素元
• 注
非零非单位元 是素元的充分必要条件是它生成的主理想 满足

• 定义
设 是交换环， 是 的真理想。如果 满足 则称 是 的素理想
• 注
是整区 的零理想是素理想

• 引理
是 的素理想 是整区

• 引理
设 是整区， ，则 是素理想 或 是 的素元

• 定义
若 是 的真理想且不存在 的理想 使 ，则称 是 的极大理想

• 引理
是 的极大理想 是域

• 推论
极大理想是素理想

• 定理（Hilbert零点定理）
设 是代数封闭域，则 的极大理想都形如 ，其中

• 定理

域论

• 定义
域是交换除环

• 定义
域 的特征指 作为环的特征，记为

• 引理
整区的特征是 或素数 ，故域的特征是 或素数

• 定义
若 是域， 是 的子环且 是域，equiv. 是 的子环且 ,有 , 则称 是 的子域 (subfield), 也称 是 的扩域 (extension field).

• 命题
设 是域， 1.若 ，则 含一个与 同构的最小子域。
2.若 ，则 含一个与 同构的最小子域。

• 定义
含有限个元素的域称为有限域 (finite field).

• 引理
设 是域， 是环同态，则 必是单同态。

• 定义
设 是 的子域， 是 的扩域，则称 是域扩张 (field extension), 也常记作 . 若还有 的子域 使 , 则称 是 的中间域(intermediatefield), 也称 是 的子扩张 (subextension).

• 引理

• 定义
若存在 使 ，则称 是单扩张 (simple extension).

• 引理
设 是域扩张， ，则 .

• 定义
设 是域扩张， . (1) 若存在 使 ，则称 在 上代数 (algebraic over F) 或称 是 上的代数元 (algebraic element over F). (2) 若对任意 有 , 则称 在 上超越 (transcendental over F) 或称 是 上的超越元 (transcendental element over F).

• 定理
设 是域扩张， . (1) 若 在 上代数，则 内首一不可约多项式 使 (i) , 且 (ii) . 我们称 是 在 上的极小多项式 (minimal polynomial of α over F). 此时 . (2) 若 在 上超越，则 .
• 注
若 是域扩张， 是 上的代数元，已知 是 中首一不可约多项式且 , 则 必是 在 上的极小多项式。

• 命题
设 是域扩张， 且 在 上代数，则 在 上代数且 . 这里 表示 在 上的极小多项式， 表示 在 上的极小多项式， 上面的整除在 中成立。

• 定义
若 的扩域 中任意元素在 上代数，则称 是 的代数扩域或称 是代数扩张(algebraic extension), 不然称 是超越扩张 (transcendental extension).

• 引理/定义
设 是域扩张，则 关于自身的加法以及与它的子域 中元素的乘法是一个 -线性 空间，其维数 称为 的扩张次数 (degree of extension)，并记作 . 若 ，则称 是有限扩张 (finite extension). 不然称为无限扩张 (infinite extension).

• 命题
设 是域扩张， 是 的一组 -基， 是 的一组 -基，则 是 的一组 -基。作为推论有 .

• 推论
有限域中元素的个数必是 ‘.

• 定理
设 是域扩张，则以下条件等价 (1) . (2) 是代数扩张且 使 .

• 定理
设 是域扩张，令 则 是 的子域， 的扩域，且 是 的最大代数子扩张，i.e. 是 的代数子扩张且若 是 的代数子扩张，则 .

• 定理
若 是代数扩张，则 是代数扩张。

• 命题/定义
设 是域，则以下条件等价 (1) 内任一非常数多项式在 中至少有一个根。 (2) 内任一 次多项式在计入重数意义下在 中有 个根。 (3) 内不可约多项式均是一次的。 (4) 没有真代数扩域，即若 是代数扩张，则 . 满足 (1)-(4) 的域称为代数封闭域 (algebraically closed field).
• 例 (代数学基本定理) 是代数封闭域。

• 命题/定义
设 是域， 是 的扩域，若 满足以下等价条件之一，则称 是 的一个代数闭包 (algebraic closure) (1) 是代数扩张且 内任一非常数多项式可以在 内分解为一次式的乘积。 (2) 是代数扩张且 代数封闭。

• 定理
设 是域， 是 的扩域且 代数封闭，则 是 的一个代数闭包。
• 推论
是 的一个代数闭包。

• 定理
设 是域，则 的代数闭包存在且在同构意义下唯一，即若 均是 的代数闭包， 则存在同构 使 .

• 定义
域 的代数闭包通常记作 .

• 命题
设 是代数扩张，则存在 -嵌入 , 即 是单同态且 .

• 引理

• 定义
设 是域的嵌入， 代数封闭且 代数扩张，则称 是 的一个代数闭包。

• 定义
设 , 是 的扩域。若 在 内可分解为一次多项式的乘积， 则称 在 上分裂或在 内分裂 (splits completely over E).

• 简单事实
• 内任意非常数多项式 在 上分裂。
• 若 在 上分裂，则 也在 的任意扩域 上分裂。
• 设 是域扩张， , 若 在 上分裂，则 在 内的任一因式在 上分裂。

• 定义
设 , 是 的扩域。若 在 上分裂且 不在 的任意真 子域上分裂，equiv. 满足 (1) 在 上分裂，即 使 . (2) . 则称 是 在域 上的分裂域 (the splitting field of f(x) over F).

• 简单事实
• 若 在 的扩域 上分裂且 , 其中 ， 则 是 在 上的一个分裂域。
• 若 是 在 上的分裂域且 是 的中间域，则 也是 在 上的分裂域。
• 设 ，则 在 上的分裂域与 在 上的分裂域一般不相等。

• 定理
设 ，则 在 上的分裂域存在，且在 -同构下唯一，即若 均是 在 上的分裂域，则存在同构 使 .

• 定义
若 是域 上某个可分多项式的分裂域，则称 是（有限）Galois 扩张.

• 定义
若 是有限 Galois 扩张，令 则 在复合下是群，称为 的 Galois 群. 若 是域 上的可分多项式， ，则称 是 在 上的 Galois 群。

• 定理
若 是有限 Galois 扩张，则 .

• 定理

• 定理
对任意素数 和正整数 ，存在一个有限域 ，其元素个数等于 ，且 在同构意 义下唯一，即若 均是元素个数等于 的域，则 .