常微分方程

Introduction

Basic Concepts

• ODE的等价形式

• Direction field and integral curve

Examples of Solutions

• Integrating Factor

• Seperation of Variables

• Change of Variable
• Linear Change
• Homogeneous Equation

Linear Equations

Linear System with Constant Coefficients

• 1st Order Homogeneous System 一阶齐次系统
对角化，long-term behavior

• 1st Order Inhomogeneous System 一阶非齐次系统

• n-th order homogeneous equation n阶齐次方程
• 特征值
• 通解（复特征根）

• n-th order inhomogeneous equation n阶非齐次方程
• 通解=特解+齐次方程通解
• 特解可以用非齐次系统，或之后的variation of parameters

Long-term Behavior

• 考虑 变大时解的行为
• 参数矩阵的所有特征值实部为负时，方程的解在 很大时趋向

• 二维系统

Nonautonomous Linear Equations

• Path-ordered exponential

• 解决线性系统

• n-阶线性方程 Variation of Parameters
注意 的系数为1！



通解=特解+齐次方程通解
特解由Variation of Parameters给出
个线性独立的解

Nonlinear Equations

Local Solutions

• 以下方程



记算子



则方程为求 的不动点

• contraction mapping 压缩映射

• The Contraction Mapping Theorem 压缩映射不动点存在且唯一

• Lipschitz Condition

• 算子 在局部是压缩映射

• Picard-Lindelof Theorem 局部解的存在性和唯一性

• Picard 迭代
不断用算子 进行迭代

• Peano Existence Theorem
当 连续但不 Lipschitz 时，局部解仍然存在，但不一定唯一。

• locally Lipschitz
由上面的定理，我们发现 Lipschitz 条件可以弱化为局部 Lipschitz 条件（即每个点存在邻域使得 在邻域内Lipschitz）

Extension of Solutions

• 如果两个区间上分别存在两个初始值问题的解，则解在区间之交上相同

• 最大解区间

• 局部条件下最大解不被紧集限制
 是上述定义下  上的最大解，假设  ，那么对任意紧集  ，存在  使得  。即，在一段时间后，最大解会跑出 K 的范围。

• Gronwall 不等式

• 线性增长条件下解全局存在

Dependence on Initial Data

• 解关于初始值连续变化

• 解关于参数连续变化
可能和参数 有关，
转化成



则有

• Differentiability

Analyticity

• Real analytic 实解析，即在邻域内泰勒展开收敛到自身

• 实解析的充要条件

• Cauchy-Kovalevskaya, ODE version

• Cauchy-Kovalevskaya, ODE version’

Power Series Solution

• 考虑线性常微分方程
可改写为
如果 都在 处解析，则称 为ordinary point，否则为singular point

• 同理有线性系统
如果 都在 处解析，则称 为ordinary point，否则为singular point

Ordinary Point

Linear System with Regular Singularity

• 考虑线性系统

• 称为该线性系统的regular singularity point 或 singularity of the first kind，如果有 ，其中 在 附近解析

• 不妨令 为regular singularity，则
考虑变量代换 其中 在 附近解析且 在 附近
有
即 称为gauge transformation

• 如果 在 附近解析， 且假定 的所有特征值间不相差一个正整数，则存在gauge transformation 使得

• Solutions in general
如果 的所有特征值间不相差一个正整数，则可以找到gauge transformation 使得 ，则可解得
如果 不满足，暂略，看讲义P71

Scalar Equation with Regular Singularity

• 考虑线性方程
称 为regular singularity如果 是奇点且 在 附近解析

• 假定 是regular singularity，设
则有 。原方程变为一阶线性系统



可以看出 是原方程的regular singular point等价于 是上面线性系统的regular singular point
令



则有



其中
则特征方程为
即 称为指标方程
如果指标方程的根之间不相差一个正整数的话，则由线性系统的解法可直接求得解

• Method of Frobenius
考虑二阶线性方程 有regular singularity
令 ，则它们都在 附近解析
method of Frobenius 寻找形如 的解，其中
代入有 ，其中 为二阶指标方程
• 当 ，则有 则 为指标方程的一个根
• 当 ，略，看讲义P75
综上
1. 若 有两个不同的根 满足 ，则有两个 Frobenius series solutions
2. 若 有两个不同的根 且 是正整数，则至少有一个Frobenius series solution
如果 可解，即 ，则令 即可，则能继续求的其他系数，则有另外一个Frobenius series solution
否则就没有
3. 若 有两相同根 ，则仅有一个Frobenius series solution

• 超几何级数

Boundary Value Problem（边值问题）

Boundary Value Problem for Second Order Equations

• ，系数在 上连续且

• 三类边值问题
1. Dirichlet boundary conditions
2. Neumann boundary conditions
3. Robin boundary conditions
解可能不存在或不唯一

• Sturm-Liouville Form
将二阶方程改写为以下的形式： 称之为Sturm-Liouville形式，或自伴形式（改写方法：原式两边同乘以 ）
称为Sturm-Liouville算子

• 考虑边值问题
满足条件
称为Sturmian type

• Lagrange identity
可推出若 ，则有

• Homogenous Problem
考虑 的齐次形式

• 定理
形式的边值问题唯一可解当且仅当 形式只有零解
• 解法
为齐次形式的通解，则有两个线性无关的解 ，则 可写为 。如果加上边界限制，则为解方程
该方程只有零解，则矩阵 可逆
考虑原方程的特解 ，则通解的形式为 ，加上边界限制后，即为解方程
由于 可逆，故该方程具有唯一解

Green’s Function for Second Order Equations

• 与线性方程组之间的联系

• 则 ，其中 被称为Green算子
我们将会构造一个函数 使得 ， 被称为Green函数

• 构造Green函数
假定齐次形式 只有零解
令 是方程 的非零解，这可从初值问题 得到，其中
令 是方程 的非零解，与上同理
有 为 的两线性无关解
由Lagrange identity ， ，故
定义Green函数 为

• Green函数的性质
暂略

• 定理
假定齐次形式 只有零解，则下面这个半齐次边值问题
有唯一解，为

• 对于一般的非齐次形式
可以首先寻找方程 的特解 通过解线性方程
得到。则 满足半其次形式 再通过Green函数即可解得

Boundary Value Problem in General

• 线性系统和Green矩阵
考虑一阶线性系统的边值问题
令 ，其中
令 （性质 ），设 ，则 为 ，即 的线性无关的解
故 的通解可写成
其中 为特解，
为满足边界条件，则寻找常数列向量 使得
与Sturmian type类似，该方程的唯一可解性等价于方程
只有零解，故有下面定理

• 定理
非齐次边值问题 在区间 上唯一可解当且仅当齐次边值问题 在 上只有零解

• 假定齐次边值问题 只有零解，则非齐次边值问题 的解为
Green矩阵为
其中

• 非线性方程
则解依然由Green函数给出
• 由distributional identity可以快速看出：
则

• 限制

• 问题 到底是啥？

Compact Self-adjoint Operators

• 内积空间
一个 ) 内积空间是一个 () 线性空间 ，配备了映射 满足：
其中
的范数定义为

• Hilbert空间
一个内积空间称为Hilbert空间，如果它作为赋范空间来说是完备的，如Banach空间

• 自伴紧算子

• 正交列
是 -dim 内积空间， 称为正交列如果满足
给定 ，级数 称为 关于 的Fourier级数

• Bessel不等式
，取等号当且仅当

• 定理
是 -dim 内积空间， 是自伴紧算子，则存在 的可数多个实特征值 ，且有 和
特征向量 形成正交列，其中
的像都可表示为傅立叶级数
的所有非零特征值等于上述的某个

Sturm-Liouville Eigenvalue Problem

• Sturm-Liouville Eigenvalue Problem
寻找某个 值使得该边值问题有非平凡解
称为特征值，解空间维数 ，则称特征值 有重数
算子 的特征值
假定齐次形式只有零解，则 不为特征值。

• 将Green函数作为自伴紧算子
，则有
令 ，则有
• 是自伴紧算子
故存在特征值和特征向量 和 满足 和 和 是正交列
令 ，则 为边值问题的特征值

• 有Green函数

Calculus of Variations

• Euler-Lagrange Equation
是在所有满足 且有固定端点 的光滑路径中，使下式取极值的光滑路径
则 满足 Euler-Lagrange Equation

• 哈密顿量（不含时）
是常量

• 拉格朗日乘子法

Numerical Solutions

Euler’s Method

• Euler’s Method

• Error Analysis
• Local truncation error(LTE)
• Global truncation error
• Convergent
称数值方法收敛，如果有
• Lemma(Local Global Error)
暂略，但需要看，与Gronwall’s Inequality类似
• Theorem
如果 满足 且 关于 有 Lipschitz连续，则
特别的，有
且当 时趋向于

• Backward Euler’s Method
是个隐函数，需要用Newton’s method求值
更加稳定

• Trapezoidal Method
收敛更快

Higher-Order Methods

• Taylor Method
由 不断求导可得，
记
则由Taylor近似有数值迭代方法
当 即为Euler‘s method
需要过多时间来求导

• Runge-Kutta Method
加入断点
考虑迭代 ，其中
可以求的当 时最优
即 ，此时
也可以加入更多断点，即 ，此时

• Linear Multi-Step Method
• -step Adams-Bashforth method
• -step Adams-Moulton method

Stability and Convergence

• Zero-Stability
线性 -step method称为zero-stable，如果存在常数 满足任意两个序列 分别由初值 生成，当 时有

• Consistency

• Convergence

Boundary Value Problem

• 二阶中心近似
故可用 来近似
故有
代入即有



记





为 矩阵
则有 ，可解得

• Error Analysis
可以发现同样有 则
展开得
有
故有
• 当 时有界，则