拓扑学

基本群

• 道路提升引理
若 为 内以 为起点的一条道路，则存在 内唯一的道路 以 为起点，并满足

• 同伦提升引理
若 是一个连续映射，满足
则存在唯一的连续映射 满足
以及

Van Kampen’s Theorem

Free Product of Groups 群的自由积

• 群 和群 的自由积记作

• 一个word是一个序列 ，其中

• 一个word被称作是reduced 简化的，如果满足：
• 不是 或 中的单位元
• 任意相邻的 属于不同的群

The Van Kampen Theorem

• Theorem
若 ，其中 为道路连通开集，并且 为base point. 如果 ， 都道路连通，那么同态 是满射. 如果还满足 都有 是道路连通的，则 的核是正规子群 ，其生成元为所有形如 的元素，因此 诱导了同构 ，其中

Covering Spaces 覆叠空间

• Definition
空间 的覆叠空间是空间 以及一个连续映射 满足：存在一个 的开覆盖 ，对于任意 ， 是 中不相交开集的并 ，其中 ，同时对于任意 ， 是同胚

Lifting Properties

• Proposition

• Path lifting lemma（道路提升引理）
令 是一个覆叠空间， 是一条满足 的道路。令 以及 ，则 使得 且

• Homotopy lifting lemma（同伦提升引理）
令 是一个覆叠空间， ，令 且 ，则 满足

• 定理
是一个覆叠映射，且 ，则 是单射
令 ，则 当且仅当 从 开始的提升是一个环路

• number of sheets
是一个覆叠映射，则 在 上是locally constant，即 ， 是 的邻域，使得
如果 是连通的，则 是常数，称 为覆叠空间 的number of sheets

• Theorem
是覆叠映射且 道路连通，则 的number of sheets等于 在 内的指数

• Locally path-connected（局部道路连通）
如果 以及任意 的邻域 ，存在一个 的道路连通的邻域 使得 ，则称 局部道路连通

• Lifting criterion
是覆叠映射， 道路连通且局部道路连通， 连续，则存在一个 的提升 当且仅当

• Uniqueness of lifting
是覆叠映射， 连续， 连通， 是 的两个提升满足 ，则

• Universal covering space（万有覆叠空间）
覆叠空间，若 ，则 称为 的一个万有覆叠空间

• Semilocally simply-connected（半局部单连通）
半局部单连通 ， 的领域 ，使得 ，其中 嵌入映射
• 注
对 ，有 则有 其中 为嵌入映射

• Lemma
令 万有覆叠空间，则 是半局部单连通的

• Theorem
道路连通且半局部单连通且局部道路连通，则存在万有覆叠空间

• Theorem
道路连通且半局部单连通且局部道路连通，则任意子群 ，存在覆叠空间 使得
• Remark
覆叠映射 ，有粘合映射 也为覆叠映射
若 ， 均为覆叠映射

• Definition
令 是两个覆叠映射， 被称为同构的当且仅当存在同胚映射 使得
• 交换图
• 同构是一种等价关系

• Theorem
道路连通且局部道路连通，则两个道路连通的覆叠空间 是同构的，通过一个保持basepoint的同构映射 （即取一个basepoint ），当且仅当

• The classification of covering spaces（覆叠空间的分类定理）
令 是道路连通，局部道路连通且半局部单连通的，则
1. 存在从所有保持basepoint的同构类（道路连通覆叠空间） 到底空间 的基本群 的所有子群的集合的双射，
2. 如果不需要保持基本点，则给出了一个对应的双射：道路连通的覆叠空间等价类与 子群的共轭类

• Deck transformation
令 是一个覆叠映射，自同构 被称为deck transformation 。所有的 deck transformation 构成了一个群 ，群乘法为复合运算
则有一个群作用
如果 是道路连通的，则这种作用是自由的（即 当且仅当 ） （由提升的唯一性，将 视作 的提升）
若 ，则 。这个群作用在 上， （ 是一种纤维，即在 作用下仍在纤维中）
我们称覆叠空间 是一个正规覆叠空间或正则覆叠空间，若 作用在每一个 上是传递的（ ）

• Theorem
令 是道路连通且局部道路连通的
令 是一个道路连通覆叠空间
令
1. 正规当且仅当 是 的正规子群
2. 令 是 在 中的正规化子 ，则 。
特别的，若 是正规的，
若 是万有覆叠空间，

• 离散性条件
令 是一个拓扑群，作用在拓扑空间 上，考虑如下情况：
对 ， 的邻域 ，使得对 ，有
• 注：这给出了一个“离散性”的条件， 与 不能“离得很近”

• Theorem
令群作用 满足
1. 商映射 是一个正规覆叠映射
2. 若 是道路连通的， 是由覆叠映射 的deck transformation构成的群
3. 如果 是道路连通且局部道路连通的，则

Homology theory（同调论）

• Simplex（单形）
，假定 线性无关， 令 ，即包含点 的最小凸集
称为n-simplex，给出顶点的顺序

• Standard n-simplex（标准单形）

• Canonical linear homeomorphism（典型线性同胚）
为n-simplex，
称为点 在 内的barycentric coordinates（重心坐标）

• Face（表面）
单形 的face是子单形，其顶点为 的子集，同时，原单形中顶点的顺序给出了其表面的顶点顺序

Singular homology（奇异同调）

• singular n-complex（奇异n-单形）
为拓扑空间， 的一个singular n-complex为连续映射

• n-chains（n-链）
令 是以 的所有奇异n-单形为基的自由abel群，则 中的元素都形如
，其中只有有限多个 非 ，这些元素被称为n-chains

• 取边界操作
，定义 （其中 表示不包含 这个元素）
将 线性延拓到 上，则可以得到一个群同态

• Lemma
复合映射 是
进而可以推得

• Singularity homology group（奇异同调群）
群 称为n-th singularity homology group of （ 的 维奇异同调群），将其记作
中的元素称为cycles（圈）
中的元素被称为boundaries（边界元）
两个圈 如果满足 被称为是homologous（同调的）

• Chain complex（链复形）
更一般的，如果有一列Abel群的同态 ， ，则这个序列被称作chain complex，群 被称作这个链复形的n-th homology group（n维同调群）
之后将 和 分别简记为 和

• Theorem

• Theorem
1. 是 的道路连通分支，.
2. 如果 道路连通，则 ，更一般的，

• Reduced homology（约化同调群）
考虑链复形
令 是该链复形的同调，称之为 的reduced homology
则有

同伦不变性

是连续映射，想要定义一个群同态
令 是n-单形，定义 是 中的n-单形，其中
将 线性延拓得到 ，则 是一个群同态

• Lemma
即如下图交换图表中的每一个正方形均是可以交换的



且易得 和

诱导了同态
其中
令 ， 是 在 中的像，则 ，（因为 ）
• Chain map（链映射）（代数层面上的推广）
令 ， 是两个链复形
一个chain map 包含这些群同态 满足
诱导了同态

• Facts
1. ，则
2. ，有
• Remark
定义了一个从拓扑空间范畴到Abel群范畴的一个函子
使得

• Theorem
是同伦映射，则
• 将 划分为 (n+1)-单形



为(n+1)-单形
• Prism map（棱柱映射）
定义棱柱映射 ，其中
即
其中 是棱柱的边界， 是上底面的边界， 是下底面的边界， 是棱柱侧面的边界
令 ，由上式可得 是一个boundary，故 和 是同调的，故

• Corollary
是一个同伦等价，则 是一个同构

• Chain homotopy（链同伦）
令 ， 是两个链复形，且 是链映射
假定有同态 满足 ，则
称为 和 的chain homotopy
如图
• Remark
对于约化同调群也成立
对于 ，我们有 ，有交换图如图
若 同伦，则有

Exact Sequences（正合列）

• Exact（正合）
考虑一列Abel群的群同态
若 ，则称这个序列在 处是exact正合的
若这个序列在 处是正合的，则称这个序列是exact正合的
• Example
正合 单射
正合 满射
正合 是同构
正合 单射， 满射，

• Short exact sequence（短正合列）
最后一种称为short exact sequence，其中

• Short exact sequence of chain complexes（链复形的短正合列）
令 是链复形，考虑 ，其中
如果满足 正合，则这个序列被称为short exact sequence of chain complexes，即如下图



和 为链映射，诱导了同态
• Q: 是正合列吗？
A: 不是

• Boundary map（边界映射）
按如下方式定义boundary map
令 为一个圈（即 ），由于 是满射，故 使得 ，由于 ，所以 ，所以 使得 ，故 ，又由于 是单射，故
定义

• Lemma
是良定义的群同态

• Theorem (Long exact sequence of homology) （同调群的长正合列）
我们有了一个序列
这个序列是正合的，并称之为long exact sequence of homology

• Normality Theorem（自然性定理）
考虑下图两行短正合列的交换图表，图中的正方形都可交换



考察下面两行长正合列



则该长正合列交换图表中也是可交换的

• Relative homology（相对同调）
相对：拓扑空间 相对于子空间 的同调群
为拓扑空间， ，令 ，和边界映射 ，如果将边界映射限制在 中，有 ，则诱导出了一个商群上的边界映射 ，为商群上的群同态
由于在链复形 中有 ，故在 中同样有 ，故 为一个链复形
称作relative homology，记作

• Relative cycle & Relative boundary（相对圈和相对边界）
• relative cycle: n-链 满足
• relative boundary: 满足 对于某些
• 相对圈 在 中是trivial的当且仅当它是一个相对边界

• Exact sequence of relative homology groups
考虑短正合列 ，其中 是嵌入映射， 是商映射。那么可以诱导出长正合列
如果 ，那么 诱导了同构
• Remark
，考虑短正合列 ， 为约化的链复形
则有约化的长正合列

• Example
，则
取 ，由于 ，所以

• 令 ，即
诱导 ，则有 ，故诱导了商映射 ，则有

• 令 是两个同伦的映射，即存在 是一个同伦，使得 且有 ，则有

• Generalization of the long exact sequence
令 ，则有短正合列 ，其中
则有链复形的短正合列
进而有链复形的长正合列

• Homotopy Equivalences（同伦等价）
令 是链映射，如果存在 使得 且 ，则 称为链复形间的同伦等价， 和 被称为同伦等价的两个复形，进而诱导出同调群之间的同构

• Excision Theorem（切除定理）
令 满足 ，则嵌入映射 诱导了同构
等价的，对于 ， 的内部能覆盖 ，则嵌入映射 诱导了群同构 （即令 ）

• Lemma
嵌入映射 ，如果存在链同伦 满足 且存在另一个链同伦 满足 ，则 为互逆的同伦等价，且 是同构。进而， 都将 的链映射到 的链，

• Good pair
令 为闭集，假定存在开集 使得 且 是 的一个形变收缩，则 被称为一个good pair

• Theorem
令 为一个good pair，则粘合映射 诱导了同构
• Remark
是good pair，则存在长正合列
（因为 ）

• Corollary
考虑一族拓扑空间 ，以及 满足 是good pair ，则嵌入映射 诱导了同构

• Corollary

• Corollary(Browser fixed point theorem)
连续映射，则 有不动点

• Corollary
令 均为开集，如果 和 为同胚，则

• Local homology group（局部同调群）
称为 local homology group at
假定 是闭集，则任意 的邻域 ，由切除定理有

• Example

• Degree（映射度）
令 ，由于 （其中 为生成元），故有 ，我们将 称作degree，记作
• Properties
2. 如果 不是满射，则
3. 如果 ，则
5. 如果 是同伦等价，则
6. 设 ，则有
7. 如果 ，则有
8. 如果 满足 ，则有
9. 若 为偶数，则 是唯一能自由地作用在 上的非平凡群

• Theorem
有连续的非零切向量场 为奇数

• CW complex（CW复形）
• Facts
• 令 为紧集，则 只和 中的有限个cell有交
每个 的闭包只和有限多个cell有交
• 是子复形，则有 为good pair

• Examples

• Lemma
如果 是CW复形，则有
• 嵌入映射 诱导了同构

• Cellular homology group



交换图中， 称为cellular chain complex，该链复形的同调群称为cellular homology groups，记作

• Theorem
• Remarks
• 如果 没有 n-cells，则
• 如果 在相邻维度上不同时有cell，则

• Cellular Boundary Formula
当 ，有 即为取边界
当 ，有 ，其中 是复合映射 的映射度， 是attaching map， 是商映射，将 映射为一点

• Mayer-Vietoris Sequence
， 为 和 的内部的交
令
有 是同伦等价，故
有短正合列
故可导出长正合列
称为Mayer-Vietoris Sequence(MV sequence)
• 约化的Mayer-Vietoris Sequence

• Euler-Poincare Theorem
• Recall
1. 有限生成Abel群，则 ，其中 为torsion挠群
则
2. 正合列
则有
• Euler characteristic
为 的i-th Betti number
其中 为拓扑不变量
• 若 为n维CW复形，则
不是拓扑不变量

• Homology with coefficients
是一个Abel群
令
可以将一般同调群中的大部分结论照搬
• Example
可以为

• Borsuk-Ulan Theorem
连续，则
• Lemma
，令 ，则 为奇数
• Corollary
令 是闭集且 。则存在 和 使得 包含 和

• Finite simplicial complex

• Lefschetz fixed-point theorem
单纯复形， 连续，有 ，是一个 -线性映射
令 ，称之为 Lefschetz number of
若 ，则 有不动点